On a stabilized colocated Finite Volume scheme for the Stokes problem

We present and analyse in this paper a novel colocated Finite Volume scheme for the solution of the Stokes problem. It has been developed following two main ideas. On one hand, the discretization of the pressure gradient term is built as the discrete transposed of the velocity divergence term, the latter being evaluated using a natural finite volume approximation; this leads to a nonstandard interpolation formula for the expression of the pressure on the edges of the control volumes. On the other hand, the scheme is stabilized using a finite volume analogue to the Brezzi-Pitkäranta technique. We prove that, under usual regularity assumptions for the solution (each component of the velocity in H(Ω) and pressure in H(Ω)), the scheme is first order convergent in the usual finite volume discrete H norm and the L norm for respectively the velocity and the pressure, provided, in particular, that the approximation of the mass balance fluxes is of second order. With the above-mentioned interpolation formulae, this latter condition is satisfied only for particular meshings: acute angles triangulations or rectangular structured discretizations in two dimensions, and rectangular parallelepipedic structured discretizations in three dimensions. Numerical experiments confirm this analysis and show, in addition, a second order convergence for the velocity in a discrete L norm. Résumé. Nous présentons et analysons dans cet article un nouveau schéma Volumes Finis collocalisé pour la résolution du problème de Stokes. Son développement a été mené en suivant deux idées essentielles. D’une part, la discrétisation du terme de gradient de pression est construite comme la transposée discrète du terme de divergence, ce dernier étant calculé par une approximation volumes finis usuelle ; cela conduit à utiliser pour l’expression de la pression aux faces des éléments une formule d’interpolation non-standard. En second lieu, nous mettons en œuvre une technique de stabilisation qui peut être interprétée comme l’analogue en volumes finis de la stabilisation proposée par Brezzi et Pitkäranta. Nous démontrons que, sous les hypothèses de régularité usuelles (appartenance à H(Ω) de chaque composante de la vitesse et appartenance à H(Ω) de la pression), le schéma est d’ordre un en norme H discrète et en norme L pour respectivement la vitesse et la pression, pourvu notamment que l’approximation des flux associés au bilan de masse soit d’ordre deux. Avec les formules d’interpolation précitées, cette dernière condition n’est vérifiée que pour des maillages particuliers: maillages réguliers en quadrangles ou triangulations ne comportant que des angles aigus en dimension deux, maillages réguliers en parallélépipèdes en dimension trois. Les tests numériques confirment cette analyse et mettent en évidence, en outre, une convergence d’ordre deux de la vitesse dans une norme L discrète. 1991 Mathematics Subject Classification. 65N12,65N15,65N30,76D07,76M12. May 2005.